Concurs telemàtic de resolució de problemes a Catalunya. SCM 2011

Problema 4

Enunciat La figura mostra una quadrícula 8 x 6 on hi podeu veure dibuixats dos rectangles, formats per unió de quadradets de la quadrícula (i que tenen els vèrtexs en punts de la quadrícula i els costats paral·lels a les línies de la quadrícula), un dels quals és un quadrat. Quants rectangles es poden dibuixar amb els vèrtexs en punts d'una quadrícula rectangular que té dimensions m × n, amb els costats paral·lels a les línies que determinen la quadrícula? Quants d'aquests rectangles són quadrats? Nota: l'enunciat estava personalitzat en funció de la contrasenya i es demanava el nombre de rectangles i de quadrats per uns determinats valors de m × n.

Solució Direm base per referir-nos al costat de baix de la quadrícula, que imaginarem que és el de longitud m,  i altura el costat de l'esquerra, de longitud n. Observeu que, aleshores, a la base hi ha  m+1 punts i a l'altura n+1. Les dades es donaven sempre de manera que m > n. Per comptar quants rectangles hi ha observem que si triem dos punts de la base i, independentment, dos punts de l'altura queda determinat un rectangle de manera unívoca i recíprocament, donat un rectangle determina dos punts de la base i dos de l'altura. Com que el nombre de maneres de triar dos punts  de la base és  i el nombre de maneres de triar dos punts de l'altura és , el nombre total de rectangles que es poden formar és   . Pel fer el recompte del nombre de quadrats caldrà triar parelles de punts, uns de la base i els altres de l'altura, a la mateixa distància. Cal fer-ho en funció d'aquesta distància. Parelles a distància 1: a la base, m; a l'altura, n. Parelles a distància 2:  a la base, m – 1; a l'altura, n – 1. Parelles a distància 3:  a la base, m – 2; a l'altura, n – 2. i així successivament fins a Parelles a distància n – 1: a la base  m – (n – 2); a l'altura 2. Parelles a distància n: a la base  m – (n – 1); a l'altura 1. Parelles a distància n – 1: a la base  m – (n – 1); a l'altura 2. Nombre total de quadrats: Podeu comentar la solució o enviar-ne una altra proposta

paàgina concurs telemàtic