Marató de problemes 2012 


Informació sobre el problema 1
  • Enunciat:

    Quin és l’exponent de la potència més alta de 9 que és un divisor del resultat del producte    
              N 9 × 99 × 999 × 9999 × 99999 × 999999 × ...?


    A partir d'unes observacions rebudes pels canals indicats a la pàgina de l'activitat es va publicar a la web una redacció alternativa d'aquest enunciat:

    Quin és el valor més gran que pot tenir el nombre natural n perquè 9n sigui un divisor de N.


  • Variants i solucions: en funció de la contrasenya de participació, en alguns casos el problema es platenjava amb 6 factors; en altres casos amb 7 factors afegint-hi 9999999; o bé amb 8 factors afegint-hi 99999999; finalment, en altres casos es plantejava amb 9 factors, afegint-hi 999999999Les respostes correctes, respectivament, són: 7, 8, 9, 11.
  • Explicació. Si N9 × 99 × 999 × 9999 × 99999 × 999999 × ... i  dividim N per tants 9 com el nombre de factors que té N obtindrem  1 × 11 × 111 × 1111 × 11111 × 111111 × ....
    Per tant, si
    f és el nombre de factors de N, aleshores 9 f és divisor de N
    Com que 111 i 111111 són múltiples de 3,  111 × 111111  és múltiple de 9; N serà doncs en tots els casos divisible com a mínim per 9f+1.
    En el cas que el nombre N tingui 9 factors, aleshores apareix 111111111  que és múltiple de 9, i augmenta en 1 la solució del problema.


  • Les dades:     
    • Respostes rebudes: 105
    • Respostes correctes:  60
              en el primer intent: 44  ;  en el segon intent: 16
    • Participants amb resposta incorrecta en tots dos intents: 31
    • Participants amb resposta incorrecta i que no han fet el segon intent: 14