L'enunciat del problema 13 està redactat així:
Expliqueu
raonadament quins són tots els moviments del pla (translacions, girs o
simetries) que transformen, globalment, el conjunt de tots els punts de
coordenades enteres en ell mateix.
És clar que els conceptes de translació, gir
i simetria se suposen coneguts i aquest problema pretén aprofundir-los.
No es tracta, doncs, d'explicar aquests conceptes, sinó d'aplicar-los a
unes situacions concretes, que amb aquesta nova redacció us guiem per a
un possible camí d'anàlisi.
Es tracta d'estudiar quines són les transformacions que transformen
cada punt de coordenades enteres en un punt de coordenades enteres. Si això passa per a tots els punts el conjunt de punts de coordenades enteres e stransformarà globalment en ell mateix. Noteu que per
als girs pot ser que un punt es transformi en ell mateix (si el centre
de gir és un punt de coordenades enteres, que pot ser-ho o no ser-ho) i
per a les simetries hi poden haver molts punts que es transformin en
ells mateixos (si l'eix de simetria passa per punts de coordenades
enteres, que pot passar-hi o no; això és part de l'estudi).
Per a aquesta nova redacció de l'enunciat indicarem com Q el quadrat de vèrtexs (0,0), (1,0), (1,1) i (0,1).
(#) Donarem per sabut que un quadrat de costat 1 es transforma per una
translació, un gir o una simetria, en un altre quadrat de costat
1. Per altra banda també pot ser interessant tenir en compte el
fet que un quadrat de costat 1 amb els vèrtexs de coordenades enteres
només pot tenir els costats paral·lels als eixos.
Translacions
- Estudieu si alguna translació pot transformar el quadrat Q en ell mateix
- Estudieu si alguna translació pot trasformar el quadrat Q en el quadrat de vértexs (3,2), (4,2), (4,3), (3,3)
- Estudieu
quines són totes les translacions que transformen el quadrat Q en un
altre quadrat amb els vèrtexs de coordenades enteres.
- Per l'observació (#) aquestes translacions que acabem d'indicar
són les úniques que poden complir l'enunciat general. Estudieu, doncs,
si aquestes translacions transformen qualsevol punt de coordenades
enteres en un altre punt de coordenades enteres.
Simetries
- Estudieu (segurament podríem dir "recordeu")
quines són totes les simetries que transformen el quadrat Q en ell
mateix. Raoneu que aquestes simetries també transformen qualsevol punt
de coordenades enteres en un punt de coordenades enteres.
- Estudieu
quines són les simetries d'eixos paral·lels als de les simetries
anteriors que transformen el quadrat Q en un altre quadrat amb els
vèrtexs de coordenades enteres. Raoneu que aquestes simetries també transformen qualsevol punt de coordenades enteres en un punt de coordenades enteres.
- Per la segona part de l'observació (#) raoneu
que no hi pot haver cap altra simetria que transformi el quadrat Q en
un altre quadrat amb els vèrtexs de coordenades enteres.
- Recopileu quines són totes les simetries que transformen el conjunt de punts de coordenades enteres en ell mateix
Girs i simetries centrals (girs de 180º)
- Estudieu quin pot ser el centre d'un gir, i quins els possibles angles de gir que transformin el quadrat Q en ell
mateix. Raoneu que aquests girs també transformen qualsevol punt
de coordenades enteres en un punt de coordenades enteres.
- Estudieu quins
són els posssibles centres de gir i els possibles angles que
transformen el quadrat Q en un quadrat adjacent a ell per un costat.
- A partir de
(#) raoneu que no hi pot haver cap altre angle de gir diferent dels
anteriors que transformi el quadrat Q en un quadrat amb els vèrtexs de
coordenades enteres.
- Raoneu que no
hi pot haver cap punt interior al quadrat Q, que no sigui el centre del
quadrat, que pugui ser el centre d'un gir que transformi el
quadrat Q en un altre quadrat amb els vèrtexs de coordenades enteres.
- Pensant
en tots els altres quadrats de costat 1 que hi ha en el conjunt de
punts de coordenades enteres, generalitzeu les idees anteriors i
recopileu quins són tots els girsque transformen el conjunt de punts de coordenades enteres en
ell mateix
|
Notes:
- Cal redactar ben clarament la solució del problema i,
tan detallat com sigui possible, i alhora precís, un camí de raonament
que porti a especificar que la solució és la indicada i que no n'hi ha cap altra.
- Heu de pensar que aquestes respostes s'envien
a un concurs, que és una situació ben diferent a la d'un "examen
escolar". És a dir que si dos participants fan raonaments semblants,
però un ho explica de manera més completa, concreta o precisa que
l'altre, o amb alguna idea original, la comissió avaluadora tindrà una tendència a posar-li
més punts. En aquest sentit podem afegir que la
subtil diferència entre un 6,8 o un 6,9 o un 7 es pot considerar una diferència de
puntuació "a efectes de desempats".
- Cada
problema el valoraran un cert nombre de persones (del món de
l'enseyament secundari o universitari), de manera que cada una aportarà
el seu punt de vista i es farà una mitjana de les puntuacions atorgades.
- El diccionari defineix precís com Exactament o estrictament determinat o definit, no equívoc o vague. Si
l'explicació és enrevessada, o ampul·losa, això pot
ser considerat pèrdua de precisió i de concreció i, per tant, pot
influir en la valoració. La presentació de diversos camins de solució que
no aportin idees creatives essencialment diferents també pot ser
considerat com una pèrdua dc concreció o de precisió.
- Ja sabeu que podeu elevar consultes a la comissió del concurs: concursosscm@gmail.com
|
amb
el
suport de
