Estalmat-3. Sessió de treball del dia 19 de novembre de 2005

1. Propostes rebudes de problemes de minisudoku amb quatre nombres posats
   (Estan proposades com a problemes correctes, és a dir, que tenen i solució i solució única. Ho són, en realitat?)
   
   
   
   

   ---

   
   
2. Conjectures rebudes sobre on s'han de posar 4 nombres en una graella de minisudoku i quins poden ser aquests nombres a fi i efecte que el problema sigui correcte, és a dir, que tingui solució i solució única.
• Sara Víctor
  • S'han d'utilitzar quatre nombres de manera que a cada subgraella, a cada fila i a cada columna hi hagi un nombre (els quatre nombres que col·locaríem haurien de ser diferents.
• Jordi Guiu. (exposa una possibilitat)
  • Si posem en un subquadrat dos nombres i en un altre subquadrat que està a la seva diagonal dos nombres més, de manera que hi hagi tres nombres diferents (per tant dos nombres de diferent subquadrat hauran de ser iguals) el minisudoku té solució única.
• Marta Besora: (exposa una possibilitat)
  • S'han de posar els nombres de l'1 al 4 sense repetir-ne cap, de manera que estiguin en cada subquadrat, un en cada fila i un en cada columna
• Judit Castaño i José Antonio Giménez.
  • S'han de posar com a mínim tres nombres diferents, i s'han de posar en diferent columna, fila i subgraella
• Jordi Roca
  • Per fer un problema correcte s'ha de posar en cada un dels subquadrats un nombre diferent
• Miquel Vivas (exposa moltes possibilitats)
  • Si es posen quatre xifres diferents o bé 3 xifres diferents i una repetida, de manera que estiguin una en cada subquadrat, una en cada fila i una en cada columna, té solució única
  • Si es posen quatre nombres en les quatre cel·les centrals, amb dos nombres repetits creuats, i els altres dos diferents, també funciona.
  • I el mateix en aquestes altres sis situacions:

• Conjectures rebudes sobre situacions que no donen resultat correcte
  • Jordi Guiu:
    • Si posem tres nombres diferents i dos d'iguals en dos subquadrats adjacents, mai podrà tenir solució única (molt ben raonat)
  • Judit Castaño i José Antonio Giménez.
    • Mai es pot posar el mateix nombre en caselles simètriques
  • Miquel Vivas:
    • Si es repeteixen 2 o més nombres no surt mai solució única. Per exemple 2, 2, 3, 3 o 3, 3, 3, 2 o 3, 3, 3, 3
    • Si es posen 4 nombres al mateix subquadrat o la mateixa fila o la mateixa columna mai no és un problema correcte
      
      

  ---

• Solució al problema plantejat (comissió Estalmat).
  Aquest és un problema molt complex, que és molt difícil de concloure sense ajut d'un programa d'ordinador que permeti examinar moltes possibilitats (ja hi ha exemples de teoremes de matemàtiques, com és ara el problema dels quatre colors, que només s'han pogut demostrar amb l'ajut d'un programa d'ordinador i també una petita part de la demostració del Teorema de Fermat també s'hi basa). El vam posar perquè aprenguéssiu a fer conjectures i demostrar-ne alguna!
  
  
  • Encara que no es preguntés, comencem per dir que per plantejar un problema correcte de minisudoku mai n'hi ha prou amb omplir tres caselles. Si s'hi posen tres nombres diferents sempre podem trobar més d'una solució; si entre els tres nombres que posem n'hi ha de repetits i els posem en posicions compatibles, sempre podrem trobar més d'una solució.
    
    
  • Podem posar quatre nombres diferents en una de les 432 situacions següents a fi i efecte que resulti un problema correctament plantejat (és a dir amb solució i solució única):
    • Un en cada subquadrat, en cada fila i en cada columna. (ho sabríeu demostrar?)
    • Un en cada subquadrat de manera que els nombres que donem com a dada es distribueixin en 2 files i 3 columnes (o 3 files i 2 columnes) o bé en 2 files i 4 columnes (o 4 files i 2 columnes) o bé en 3 files i 4 columnes (o 4 files i 3 columnes)... però no va bé, encara que els posem un en cada subquadrat, si es distribueixen en 1 sola fila, o una sola columna, o 2 files i 2 columnes, o 3 files i 3 columnes.
    • Dos nombres en un subquadrat, en caselles adjacents, i dos nombres en una línia paral·lela, en subquadrats diferents (línia vol fila o columna segons els nombres del mateix subquadrat)
    • Dos nombres en un subquadrat, en una diagonal, un nombre en el subquadrat diagonalment oposat d'aquell, i un altre nombre en un altre subquadrat en fila i columna diferent de l'anterior.
    • Però no va bé perquè hi ha multiplicitat de solucions:
      • Si posem dos nombres en un subquadrat i dos nombres en un altre subquadrat. (ho sabríeu demostrar?)
      • Si posem tres nombres en un subquadrat i un en un altre subquadrat en una posició coherent...
      • ... perquè això últim és equivalent a donar quatre nombres en un subquadrat i un altre "de propina". Comptar quantes solucions hi ha en aquest cas ja ens porta a solucionar el problema 3.
        
        
  • Podem posar quatre nombres, tres d'ells diferents i un repetit, a, a, b, c, en una de les situacions següents perquè resulti un problema correctament plantejat:
    • Un en cada subquadrat, un en cada fila i un cada columna, sempre que el nombre repetit estigui en dos subquadrats adjacents però no és vàlida aquesta situació si el nombre repetit està en dos subquadrats en diagonal.
    • Un en cada subquadrat, de manera que es distribueixin en 2 files i 4 columnes (o 2 columnes i 4 files)
    • Dos nombres en caselles adjacents d' un subquadrat dels quals un sigui un dels repetits... i en aquest cas sí que podem posar dos nombres en un subquadrat i uns altres dos nombres en el subquadrat diagonal d'aquell, en una fila o columna paral·lela de la que estan els primers (ho sabríeu demostrar?); i també aquests altres dos nombres poden anar en els dos subquadrats "paral·lels" a la fila on estan els inicials, situats en files diferents.
    • Dos nombres en caselles en diagonal d'un subquadrat dels quals un sigui un dels repetits. Els altres dos nombres han d'anar en subquadrats que no estiguin en diagonal; si formen una coilumna el nombre d'aquests que és "no repetit" ha d'anar a la mateixa fila que el "repetit" inicial (i simètricament per les columnes)
    • Però no va bé...
      • posar dos nombres diferents en un subquadrat i el nombre repetit en uns altres dos subquadrats (ho sabríeu demostrar?)
      • ni, com ja hem dit abans, posar tres nombres en un subquadrat (i el repetit en un altre subquadrat) -perquè també així equival a posar quatre nombres en un subquadrat-
        
        
  • Si posem quatre nombres dels quals només dos o un siguin diferents, per exemple a, a, b, b o a, a, a, b o a, a, a, a mai hi ha solució única. (ho sabríeu demostrar?)
    
    

  ---

3. I per acabar, "el problema global". Estudia de quantes maneres es pot omplir un engraellat de minisudoku (sense cap nombre posat prèviament) si volem que es compleixin les instruccions del joc.
   
   Respostes rebudes:

• Jordi Roca. 144. (amb una explicació)
• Sara Víctor i Àlex Segura. 384. (amb una explicació molt correcta, només amb un petit "lapsus". A veure si el trobes abans del dissbate!)
• Judit i José Antonio. 192. (amb una explicació)
• Miquel Vivas. 192. (amb una explicació i l'exposició de les seves 192 possibilitats)                                       Entre totes i tots farem la demostració

En un quadrat ABCD dividim els costats AD i BC en quatre parts iguals. Unim el vèrtex A amb el primer punt de divisió del costat BC i el punt B amb l'últim punt de divisió del costat AD.

Com veieu a la figura s'han format dos triangles. ..............Quina és l'àrea de cadascun d'ells si l'àrea del quadrat inicial és 1 unitat d'àrea? Entre totes i tots redacteu una demostració que posarem a la web.