[tornar a la pàgina principal d'Estalmat-Catalunya]

CURS 2004-2005. SOLUCIONS DE MIQUEL VIVAS ALS PROBLEMES A LA WEB (2)    

1.- En el quadrat gran de la figura, que té costat de 2 unitats hem inscrit un dodecàgon regular, del qual en volem calcular l’àrea. Per això hem dibuixat el triangle ABC, que has de demostrar que és equilàter i també et pot ajudar per a l’objectiu que ens hem marcat demostrar que el triangle AMB és isòsceles i calcular-ne els angles (alerta!!! vigila a no fer servir allò que vols demostrar!)

Quan hagis fet el que t’hem indicat (o fins i tot encara que no ho hagis aconseguit) descompon el dodecàgon inscrit en triangles iguals a ABC o a AMB i, a partir d’aquesta descomposició calcula l’àrea del dodecàgon.
Ara et demanem que generalitzis: Quina es l’àrea d’un dodecàgon inscrit en una circumferència de radi R?

La solució que ha enviat Miquel Vivas avança ràpidament cap a la darrera qüestió plantejada.

Els triangles NFC, CFB i BFM són iguals perquè partim d'un dodecàgon regular.

Els triangles NFB i CFM són iguals perquè quan dos triangles tenen dos costats iguals (NF = BF = CF = MF) i l'angle que hi ha entre ells també (angle CFM = angle NFB = 60º) llavors els triangles són iguals. I en aquest cas, a més, són equilàters perquè tenen tots els angles de 60º. Per tant NF = BF = CF = MF = CM = BN = AM = AN.

Els triangles AMC i ABN són iguals perquè tenen dos costats iguals (els que acabem de veure, AM = CM = BN = AN) i l'angle entre ells també (angles AMB i AMC, de 30º) i per tant AB = AC.

Els triangles AMC, ANB, NFC, CFB i BFM són tots iguals i per tant AB = AC = BC, és a dir que el triangle ABC és equilàter.

Els triangles AMB i ACN són iguals perquè AM = AN i AB = MB = AC = CN i per això ABM i ACN són isòsceles.

Si el dodecàgon està inscrit en una circumferència de radi R, tenim que AN = NF = AM = MF = CF = BF = CM = BN = R. Per altra banda, per simetria, el punt B està situat a una distància del costat FM igual a la meitat del radi, R/2.

Llavors l'àrea del triangle BFM és igual a i com que el dodecàgon està format per 12 triangles iguals a BFM, la seva àrea serà 3R².

No ha fet falta fer servir la descomposició en triangles que deia l'enunciat, però per fer-ho hauríem d'observar que el triangle AMC (igual a un dels 12 que acabem d'esmentar) quival a un triangle ABC més dos triangles AMB. I per tant l'àrea del dodecàgon és igual a 12 vegades l'àrea del triangle ABC més 24 vegades l'àrea del triangle AMB.

2.- Es juga un torneig de futbol entre un nombre parell d’equips a una sola volta. Al final hi ha un equip campió que té més punts que el segon, amb el benentès que en cada partit es donen 2 punts a l’equip que guanya, 1 si empaten i 0 punts al que perd. Quants partits pot haver perdut com a màxim l’equip campió? Escriu una taula possible de classificació que s’ajusti a aquest cas per a 8 equips on figurin els partits guanyats, empatats i perduts per cada equip.

Mira d’estendre la taula per a 10 equips, per a 12... i per a 2·n.

Com canviarien les conclusions si en lloc de 2 punts se’n donen 3 per guanyar?

Miquel Vivas ens ha enviat tot un tractat sobre aquest problema, que tot seguit resumim.

• Cas 8 equips; 2 punts per guanyar i 1 per empatar.
  
  Per calcular el nombre de partits que es jugaran es pot fer servir la fórmula de les combinacions de 8 elements agafats de 2 en 2: surten 28 partits, que representaran 7 jornades a 4 partits per jornada.
  El total de punts a repartir és de 56. Per intentar saber el nombre de partits que pot perdre el campió, com a màxim, començarem per repartir els 56 punts entre els 8 equip; resulten a 7 punts per equip. A continuació donarem un punt més al que volem considerar campió i un punt menys a l'últim classificat i quedarà la classificació així:
  A: 8 punts; B,C,D,E,F,G: 7 punts; H: 6 punts.
  A pot aconseguir 8 punts si guanya 4 partits i en perd 3. Però, és això possible en el conjunt de partits? Sí! Aquest és un exemple de taula de classificació final:
  

  	jugats	guanyats	empatats	perduts	punts
  A	7	4	0	3	8
  B	7	1	5	1	7
  C	7	1	5	1	7
  D	7	2	3	2	7
  E	7	2	3	2	7
  F	7	2	3	2	7
  G	7	2	3	2	7
  H	7	2	2	3	6

  
  
• A continuació intentarem fer càlculs semblants per 10 equips, 12 equips, 14 equips, 16 equips, i també per 4 equips i 6 equips, per trobar una fórmula que ens serveixi per 2·n equips. (En cada cas en Miquel Vivas adjunta una taula dels resultats dels partits i la classificaciço, coherent amb el que es diu seguidament; observeu que el campió, curiosament, és un dels que més partits ha perdut!)
  • Per 10 equips i raonant de la mateixa manera que abans pels 45 partits que es juguen es veu que és possible que la classificació sigui:
    A: 10 punts; B,C,D,E,F,G, H, I: 9 punts; H: 8 punts.
    A pot haver guanyat 5 partits i haver-ne perdut 4, com a màxim.
  • 12 equips; 66 partits; possible classificació: 12, 11, 11, ..., 11, 10. El campió pot haver guanyat 6 partits i haver-ne perdut com a màxim 5.
  • 14 equips; 91 partits; possible classificació: 14, 13, 13, ..., 13, 12. El campió pot haver guanyat 7 partits i haver-ne perdut com a màxim 6.
  • Jugant 6 equips, 2 partits perduts com a màxim; jugant 4 equips 1 partit perdut com a màxim.
    
    
• Si 2·n és el nombre d'equips participants, generalitzant els resultats observats es veu que, en el cas de 2 punts per guanyar i 1 per empatar, el màxim nombre de partits que pot haver perdut el campió és (2·n - 2) / 2 = n - 1.
  
  
• (Per a la situació en què es donen 3 punts per guanyar i 1 per empatar --com es fa actualment a la lliga de futbol-- en Miquel explica amb tot detall el procediment --cosa que podeu veure seguidament-- i l'aplica per a molts nombres d'equips. En aquest cas no es troba una fórmula general.)
  • Una manera de poder fer el càlcul és la següent:
    Començar donant a l'equip que volem que sigui el campió el nombre màxim possible de punts (o sigui que li assignem tots els partits guanyats)
    A la resta dels equips els donem elspunts de manera que el segon tingui el mínim de punts possible. Això s'aconsegueix considerant-los un partit perdut a cada un (el que han jugat amb el campió) i tots els altres partits empatats.
    A partir d'aquí provarem de treure 3 punts al campió i els donarem al segon classificat (o sigui, li farem perdre un partit al campió i farem guanyar el partit al segon classificat).
    A continuació farem el mateix: provarem de treure 3 punts més al campió i els donarem al 3r classificat.
    Això ho anirem fent fins a arribar a un nombre de punts d el'equip guanyador que no es pugui disminuir més, perquè deixaria de ser campió degut a que tindria igual o menys punts que alguns dels altres equips.
    També és interessant tenir en compte que en els càlculs que fem amb l'equip campió no hem de considerar cap empat, ja que encara que amb un empat disminueixen els punts el nombre de partits perduts serà el mateix.(Tal com hem dit, això només fa referència al campió ja que precisament a la resta dels equips els atorguem em màxim possible de'empats a fi i efecte que tinguin el mínim de punts i per tant el campió pugui ser-ho amb el màxim de partits perduts.)
  • Si ho apliquem al cas de 8 equips procedirem així:
    

    A	B	C	D	E	F	G	H
    21	6	6	6	6	6	6	6
    18	9	6	6	6	6	6	6
    15	9	9	6	6	6	6	6
    12	9	9	9	6	6	6	6	Puntuació final

    
    
    i la classificació seria aquesta:
    

    	jugats	guanyats	empatats	perduts	punts
    A	7	4	0	3	12
    B	7	1	6	0	9
    C	7	1	6	0	9
    D	7	1	6	0	9
    E	7	0	6	1	6
    F	7	0	6	1	6
    G	7	0	6	1	6
    H	7	0	6	1	6

    
    (La comissió de la web fa observar que aquesta classificació es pot modificar de manera que el segon o el tercer equip tinguin dos punts més --fent-los guanyar un dels partits empatats-- però això no fa canviar la conclusió d'en Miquel, que considerem del tot correcta)
    
    
    

3.- El nombre de nou xifres abcdefghi, format amb les nou xifres de l’1 al 9, compleix que:
a és divisible per 1,
ab és divisible per 2,
abc és divisible per 3,
abcd és divisible per 4,
...y així continua successivament fins que:
abcdefghi és divisible per 9
Es tracta de trobar aquest nombre (que és únic) mitjançant la recerca de resultats parcials. No t’ajudem gaire si et diem que e ha de ser 5 i que b, d, f, h han de ser nombres parells i que, per tant, les altres xifres són imparelles. Quants nombres “candidats” tenim en aquest moment?
Tot seguit et proposem que intentis esbrinar com es poden col·locar les xifres parelles de dues en dues en els seus “forats” fent servir les regles de divisibilitat per 4 i per 8 (recorda que c i g son imparells i f parell).
Després d’això ja tindràs un nombre raonable de camins a explorar, en els quals la col·locació de les xifres imparelles també es farà de dues en dues, atenent a les regles de divisibilitat per 3, per 6 i per 9.
Així, al final, només et queden sis candidats que compleixen vuit de les nou condicions. Crida al Setè perquè t’ajudi. Poses les set primeres xifres a la caixa de sabates de la divisió per 7, i en trobaràs un que encaixarà: el nomenes guanyador de la cursa!

Després dels comentaris de l'enunciat ens queden per explorar aquestes possibilitats:

a pot ser 1, 3, 7, 9; b pot ser 2, 4, 6, 8; c pot ser 1, 3, 7, 9; d pot ser 2, 4, 6, 8; e ha de ser el 5; f pot ser 2, 4, 6, 8; g pot ser 1, 3, 5, 7, 9; h pot ser 2, 4, 6, 8; i pot ser 1, 3, 7, 9.

Les he anat examinant totes.

• Si considerem ab trobem 16 candidats: 12, 14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 72, 74, 76, 78, 92, 94, 96 i 98.
• Si considerem abc trobem 20 candidats: 123, 129, 147, (el 16 "despaareix", com després el 34, el 76 i el 94), 183, 189, 321, 327, 369, 381, 387, 723, 729, 741, 783, 789, 921, 927, 963, 981, 987
• Si ara pensem en abcd i els valor santeriors, trobem 30 nombres possibles múltiples de 4, als quals els afegim e = 5 i tenim 30 possibilitats per abcde.
• Ara anem provant quin valor pot tenir la f (afegint xifres diferents a les que ja tenim) perquè abcdef sigui múltiple de 6 i els candidats se'ns redueixen a 20.
• Afegim en cada cas una de les xifres senars que falten com a valor de g per veure si obtenim un múltiple de 7 i ja només ens queden 9 possibilitats: 1296547, 1472583, 3216549, 3816547, 7296541, 7412587, 7836549, 9216543 i 9632581.
• I llavors, si afegim en el lloc de la h la xifra parella que falta posar ja només trobem un cas en què sigui múltiple de 8 el nombre abcdefgh: és el 38165472
• Li afegim al final la xifra 9 (que és la que no està posada; tots els nombres formats amb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9 són múltiples de 9) i trobem la solució:
  381654729.