Problemes a l'esprint per a equips de 3r i 4t d'ESO

12 i 13 de desembre de 2018


Resposta raonada a un dels problemes de propina


El triangle ABC es rectangle en C. El punt D Ús el punt mitjÓ del costat AC . La recta BE Ús la bisectriu de l'angle en B del triangle. L'Órea del triangle ABC Ús 144 i la del triangle DBE Ús 8. Calcula la longitud de la hipotenusa AB i com a resposta envia el quadrat d'aquesta longitud.

Aquest problema Ús un bon exemple que, en problemes de triangles que es relacionen amb una d eles bisectriu, la ocnsideraciˇ d'una recta perpendicular pot se rmolt interessant.

Com que BCD Ús mig triangle del triangle ABC, aleshores BCD tÚ Órea 72. Com que BED Ús un triangle que tÚ la mateixa altura i Órea 8, resulta que "la base"  CD  ha de ser 9 vegades "la base"  ED
Per tant, si posem  ED= x  tenim doncs  CE = 8x  i   DA=9x
SI fem per E la perpendicular a la bisectriu, podem raonar que  el triangle BCE  Ús igual al triangle BEF .
En el triangle rectangle FED  serÓ  el catet EF = 8x i la hipotenusa EA =10 x  i, Ús clar, pel teorema de PitÓgores l'altre catet FA=6x.
Ara bÚ, si pensem quins sˇn els angles veurem que aquest triangle Ús semblant al triangle ABC inicial.
Per tant els catets del triangle donat estan en la relaciˇ 6 a 8,  posem.los com   6y i 8y.  Com que l'Órea Ús 144 tenim que   6yĚ8y/2=144 i per tant  y =
Com que la hipotenusa mesura 10 y.= 10, la resposta que s'havia d'enviar (el quadrat de la hipotenusa)  Ús 600.