Prova Cangur-1995
   (no celebrada a Catalunya)
   Nivell C 		Menú Cangur-95

1. Si u ¹ v i les successions (u, a1, a2, v, ...) i (u, b1, b2, v, ...) són progressions aritmètiques, llavors és igual a
  3. 1

2. Per cada terna de nombres reals no nuls, a, b, c, formem el nombre

El conjunt de nombres obtinguts és

  1. {0}
  2. {–4, 0, 4}
  3. {–4, –2, 0, 2, 4}
  4. {–4, –2, 2, 4}
  5. Cap dels anteriors
3. Quin és el valor del paràmetre p que fa que les equacions

(p – 1)x = 1     i     p(x – 1) = 1 – p

tinguin la mateixa solució?
  1. –1
  2. 0
  3. 1
  4. 0 i 1
  5. Cap valor
4. Si x < 0, llavors és igual a
  1. 1
  2. 1 – 2x
  3. –2x – 1
  4. 1 + 2x
  5. 2x – 1
5.Quines són les dues funcions que tenen els gràfics de la figura?
  1. f(x) = |1 – x| – x,   g(x) = 1

  2. f(x) = |x| + |1 – x|,   g(x) = x

  3. f(x) = – 2x,   g(x) = x

  4. f(x) = x – |2x|,   g(x) = 1

  5. Una altra resposta
6. Si r és positiu i la recta d'equació x + y = r és tangent a la circumferència d'equació
x2 + y2 = r, llavors r és igual a
  2. 1
  3. 2
  5. 2
7. Jo vivia a Siracusa fa més o menys 22 segles; vaig calcular l'àrea d'un segment de paràbola i d'altres coses; he demostrat que l'àrea lateral del cilindre circumscrit a una esfera és igual a l'àrea d'aquesta esfera; una certa espiral porta el meu nom; però, per damunt de tot, se sap que vaig dir «Doneu-me un punt de suport, i ...» Qui sóc?
  1. Ciceró
  2. Pèricles
  3. Sant Agustí
  4. Euclides
  5. Arquimedes
8. Un trapezi ABCD té costats paral·lels de longituds AB = 40 cm i
CD = 16 cm. El punt P està sobre AB de manera que el segment DP divideix el trapezi en dues parts de la mateixa àrea. Calculeu la longitud de AP expressada en centímetres.
  1. 16
  2. 20
  3. 28
  4. 32
  5. 36
9. Si desenvolupem la potència (2x – 1)1995 i ordenem els termes, obtenim

a1995x1995 + a1994x1994 + ··· + a1x + a0.

Llavors la suma a1995 + a1994 + ··· + a1 + a0 val

  1. –1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
  5. 1995
10. Digueu quina de les funcions indicades a les respostes no està representada a la figura següent:

  2. g(x) = x2

  3. h(x) = 1 – x

  4. j(x) = (1 – x)2

11. Si 1 + anul·la la funció f(x) = x2 + px + q, amb p, qÎ Z, llavors
p + q val
  1. –5
  2. –3
  3. –1
  4. 1
  5. 5
12. Si (x, y, z) és una solució del sistema
llavors x + y + z val
  1. 0
  2. 1
  3. 0 o bé 1
  4. 0 o bé –1
  5. 1 o bé –1
13.En un triangle ABC, el punt mitjà de BC és M, AB = 4 cm, BC = 6 cm i
AM = 5 cm. L'àrea del triangle, expressada en centímetres quadrats, és
  1. 15
  2. 14
  3. 12
  4. 10
  5. un altre valor
14. Es defineix la successió Sn de terme general
  1. Sn és divergent
  2. Sn té límit 1
  3. Sn té límit 0
  4. Sn té límit k, 0 < k < 1
  5. Sn té límit k, k > 1
15. Donada la successió (un), definim D1(un) = un+1 – un,
i per tot enter k > 1, definim Dk(un) = D1(Dk–1(un)).
Si un = n3 + n, llavors, pot ser Dk(un) = 0 per tot n?
  1. Si k = 1
  2. Si k = 2 però no si k = 1
  3. Si k = 3 però no si k = 2
  4. Si k = 4 però no si k = 3
  5. Per cap valor de k
16. Si a és un angle agut i llavors tan a és
  1. x
  2. 1/x
17. Si la funció

compleix f(f(x)) = x (per a tot x ¹ –3/2), llavors c val

  1. –3
  2. –3/2
  3. 0
  4. 3
  5. 5
18. Si c és un nombre real i una de les solucions no positives de x2 – 3x + c = 0 és també una solució de x2 + 3x – c = 0, llavors les solucions de l'equació
x2 – 3x + c = 0 són
  1. 1 i 2
  2. –1 i –2
  3. 0 i 3
  4. 0 i –3
  5. i
19. Siguin C1, C2 i C3 tres cordes paral·leles entre elles i al diàmetre d'un semicercle. La distància entre C1 i C2 és la mateixa que entre C2 i C3. Les longituds de les cordes són 20 cm, 16 cm i 8 cm. Encara que a primera vista no ho sembli, pots determinar el radi del cercle que, expressat en centímetres, és
  1. 12
  2. 18
  3. 20
20. El gràfic de la figura, simètric respecte Oy, representa una funció contínua que és la derivada d'una funció f. Digueu quina de les afirmacions següents és falsa.
  1. f està definida i és contínua a (–3, 3)
  2. Si f(0) = 0, llavors f és senar a (–3, 3)
  3. f té un màxim a x = –2.
  4. f no pot conservar el signe a (–3, 3)
  5. f té un punt d'inflexió a x = –0.
21. Dues circumferències iguals, de radi 10 cm, són tangents exteriors. Les tangents a la de la dreta es tallen al centre de la de l'esquerra. Busca un valor aproximat de l'àrea de la part acolorida de la figura, i arrodoneix-lo als centímetres quadrats.
  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
  5. 10
22. Si m, n, p, q són nombres reals i considerem les funcions
f(x) = mx + n, g(x) = px + q,
llavors l'equació f(g(x)) = g(f(x)) té solució:
  1. Per a tots els m, n, p, q
  2. Si i només si m = p i n = q
  3. Si i només si mq – np = 0
  4. Si i només si n(1 – p) – q(1 – m) = 0
  5. Si i només si (1 –n)(1 – p) – (1 – q)(1 – m) = 0
23. El cercle K té diàmetre AB. El cercle L és tangent a K i a AB en el centre de K. El cercle és tangent a K, tangent a L i tangent a AB. El quocient entre l'àrea de K i l'àrea de M val
  1. 12
  2. 14
  3. 16
  4. 18
  5. 20
24. En una circumferència de radi 6 es dibuixa un sector circular d'angle central agut iagual a a. EL radi de la circumferència circumscrita a aquest sector és
  1. 3 cos a
  2. 3 / cos a
  3. 3 cos (a/2)
  4. 3 / cos(a/2)
  5. 3
25. Si (a, b) i (c, d) són dos punts de la recta d'equació
y = mx + n, la distància entre ells és
  5. Té una altra expressió
26. A la figura, les rectes AD i AE divideixen en tres parts iguals l'angle A del triangle ABC. Les longituds de BD, DE i EC són, respectivament, 2 cm, 3 cm i 6 cm. Quina és, expressada en centímetres, la longitud del costat més petit del triangle ABC?
  1. 5
  2. 2
  3. 6
  4. 2
  5. 11
27. El nombre d'extrems locals de la funció f(x) = 2x – x3 + sin x és
  1. Cap
  2. 1
  3. 2
  4. 4
  5. Infinits
28. El nombre natural solució de l'equació
és
  1. 110
  2. 115
  3. 116
  4. 231
  5. No té solució entera
29. Si k és un nombre enter i f una funció tal que, per tot nombre real positiu x, compleix
deduïu quin és, per tot nombre real positiu y, el valor de
  2. 2k
  3. k
  4. k2
  5. y
30. El nombre de solucions reals de l'equació (x2 – 1)3 – 3(x2 – 1)2 + 1 = 0 és
  1. 6
  2. 4
  3. 3
  4. 2
  5. 1